METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

Anno accademico 2015/2016 - 2° anno
Docente: Concettina Rita DRAGO
Crediti: 6
SSD: MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 90 di studio individuale, 60 di lezione frontale
Semestre:

Obiettivi formativi

Acquisire conoscenze teoriche e competenze metodologico-risolutive nell'ambito del calcolo differenziale ed
integrale per le funzioni reali di due variabili reali, dello studio delle serie e successioni di funzioni ed delle equazioni differenziali ordinarie.

Prerequisiti richiesti

Conoscenze teoriche e competenze metodologico-risolutive nell’ambito del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale, dello studio delle serie e successioni numeriche.


Frequenza lezioni

Obbligatoria


Contenuti del corso

  • Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme*. Caratterizzazione convergenza uniforme. Continuità del limite. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata
  • Serie di funzioni*. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale*. Test di Weierstrass. Teoremi sulla continuità della somma, teoremi di integrazione e di derivazione per serie.
  • Serie di potenze*. Primo lemma di Abel. Secondo lemma di Abel. Raggio di convergenza e intervallo di convergenza*. Teorema del raggio di convergenza. Teorema di Abel. Teorema di D'Alembert*. Teorema di Cauchy-Hadamard*.
  • Raggio di convergenza della serie di potenze derivata. Derivazione e integrazione della serie di potenze. Serie di Taylor*. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli*: senx, cos x, e^x, log(1+x), log(1-x), arctg x. Serie binomiale
  • Serie di Fourier. Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier
  • Spazi metrici. Lo spazio metrico euclideo R^n. Insiemi aperti, chiusi. Punti interni, esterni, di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Teorema di Bolzano. Insiemi limitati.
  • Domini. Insiemi completi, compatti e connessi. Funzione reale di due variabili reali.
  • Campo di esistenza*. Limiti in un punto*.
  • Limiti all'infinito*. Continuità*. Teorema di Weierstrass, teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza egli zeri. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane. Derivate parziali*
  • Teorema di Schwartz. Gradiente*. Differenziabilità e significato geometrico. Teorema sul differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivate direzionali di una funzione differenziabile.
  • Linee di livello e significato geometrico del vettore gradiente. Funzioni con gradiente nullo. Formula di Taylor al primo e secondo ordine con resto di Lagrange. Massimi e minimi relativi*. Condizione necessaria del I ordine*. Massimi e minimi relativi: condizioni necessaria del II ordine*, condizione sufficiente*.
  • Massimi e minimi assoluti*. Teorema di Weierstrass
  • Funzioni implicite*. Teorema del Dini per funzioni implicite di una variabile e di due variabili*
  • Definizione di matrice Jacobiana. Teorema del Dini per i sistemi di equazioni. Massimi e minimi relativi per funzioni definite implicitamente. Polinomio di Taylor per le funzioni definite implicitamente.
  • Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Metodo delle linee di livello.
  • Curve piane. Curve semplici, semplici chiuse. Curve regolari*. Rettificabilità di una curva*. Equazione della retta tangente ad una curva. Ascissa curvilinea.Integrali curvilinei. Baricentro di una curva
  • Forme differenziali. Forme differenziali esatte*. Criterio di integrabilità delle forme differenziali esatte.Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte*
  • Forme differenziali chiuse*. Forme differenziali in un rettangolo aperto*. Forme differenziali in un insieme stellato e in un insieme semplicemente connesso*. Domini normali*. Integrali doppi su domini normali*. Formule di riduzione per gli integrali doppi*.
  • Primo teorema di Guldino. Formule di Gauss-Green*. Divergenza Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Cambiamento di variabili negli integrali doppi*. Area di un dominio piano.
  • Cenni sugli integrali tripli. Domini normali di R^3. Formule di proiezione per gli integrali tripli. Coordinate sferiche e cilindriche.
  • Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine e di ordine n*. Problema di Cauchy*. Teoremi di esistenza e unicità locale e globale. Equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili*.
  • Equazioni differenziali a coefficiente omogeneo ed equazioni differenziali di tipo omogeneo*. Equazioni differenziali lineari del primo ordine*. Equazioni differenziali del primo ordine di Bernoulli.
  • Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n. Proprietà delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti (omeogenee e non omogenee) *. Casi particolari*.

Testi di riferimento

1. N. Fusco, P. Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore – Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea

 

2. S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli

 

3. Fanciullo, Giacobbe, Raciti. Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical book

 

4. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica, vol. 2 tomi 1, 2,3, e 4, Liguori Editore.



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1  Serie e successioni di funzioniTesto 1: cap 1 
2*Funzioni reali di più variabili reali: dominio, calcolo di limiti, calcolo differenziale, massimi e minimi relativi, assoluti e vincolati.Testo 1: cap. 2 
3 . Teorema del Dini sulle funzioni impliciteTesto 1: cap 7 
4*Forme differenziali ed integrali curvilineiTesto 1: cap 4 
5*Calcolo di integrali doppiTesto 1: cap 5 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Alla fine del corso sono previste le prove d’appello. L’esame è costituito da:

1. Una prova scritta

2. Una prova orale (facoltativa).

La prova scritta è costituita da 6 esercizi (di 5 punti ciascuno)

Durante la prova scritta NON è consentita la consultazione di libri, appunti e formulari di vario genere o l’utilizzo di calcolatrici elettroniche di qualsiasi tipo.

Supera l’esame scritto chi ottiene una votazione di almeno 16/30. La prova scritta si può sostenere per intero, oppure in due parti distinte, ciascuna costituita da 3 esercizi. Supera le due prove scritte chi totalizza un punteggio totale di almeno 16/30 nelle due prove, con un minimo di 8/30 in ciascuna prova scritta. Chi supera una delle due parti della prova scritta, può sostenere l’altra parte entro gli appelli della sessione successiva.

Due degli esercizi proposti sono a scelta uno di tipo teorico o uno di tipo pratico. Il quesito teorico consiste nella enunciazione di definizioni, nella dimostrazione di teoremi o nella ricerca di controesempi.

Lo studente deve svolgere 6 esercizi di cui UNO teorico da scegliere tra i due proposti.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

1. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimi relativi della funzione f(x,y) nel suo campo di esistenza.

2. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni data

3. Calcolo di integrali doppi in domini normali

4. Risoluzione di equazioni differenziali lineari ordinarie.

5. Curve e integrali curvilinei

6. Teorema del Dini per le funzioni implicite