ANALISI MATEMATICA I M - Z

Anno accademico 2023/2024 - Docente: EMANUELE MACCA

Risultati di apprendimento attesi

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

Conoscenza e capacità di comprensione:

Questo corso di Analisi Matematica I mira a fornire una solida base nei concetti matematici essenziali di numeri reali, funzioni continue, derivate, integrali e serie, consentendo agli studenti di applicare questi strumenti in modo efficace nella risoluzione dei problemi di ingegneria. Attraverso uno studio rigoroso e applicazioni pratiche, gli studenti svilupperanno una conoscenza e una comprensione adeguate di questi principi matematici, dotandoli delle capacità analitiche necessarie per il successo nel loro corso di studi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Gli studenti sono incoraggiati a sfruttare la conoscenza degli strumenti matematici per risolvere problemi di ingegneria. Attraverso esercizi pratici e applicazioni nel mondo reale, gli studenti svilupperanno la capacità di utilizzare questi concetti matematici come potenti strumenti di analisi e progettazione ingegneristica.

Autonomia di giudizio:

Gli studenti saranno sfidati ad esprimere giudizi informati valutando l'appropriatezza e l'accuratezza delle tecniche matematiche applicate a problemi di ingegneria. Svilupperanno la capacità di valutare criticamente e selezionare i metodi matematici più adatti, migliorando le loro capacità di problem-solving nei processi decisionali.

Abilità comunicative:

Il corso pone una forte enfasi sullo sviluppo di capacità comunicative efficaci, fornendo agli studenti la capacità di articolare concetti matematici e approcci di risoluzione dei problemi in modo chiaro e conciso. Attraverso esercizi e discussioni collaborative, gli studenti impareranno a trasmettere idee matematiche complesse a un pubblico sia tecnico che non tecnico, un'abilità cruciale per il successo nella loro carriera.

Capacità di apprendimento:

Verranno coltivate le capacità di apprendimento di base, compreso lo studio autodiretto, le strategie di risoluzione dei problemi e l'adattabilità nell'affrontare le sfide matematiche. Attraverso una varietà di esercizi e autovalutazioni, gli studenti svilupperanno la capacità di esplorare e applicare in modo indipendente concetti matematici, favorendo una capacità permanente di apprendimento continuo.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali con utilizzo di proiezione di slides a video

Prerequisiti richiesti

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni.

Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.

Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso, cfr. Punto 3.1 del Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Civile e Ambientale.

Contenuti del corso

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI.

Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati. Estremi di un insieme numerico. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione x^n=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, con valore assoluto, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche. Principio di induzione.

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE.

Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI.

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Numero di Nepero. Limite della funzione composta. Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse.

6. CALCOLO DIFFERENZIALE.

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi

relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital. Grafici delle funzioni elementari. Studio del grafico di una funzione. Sviluppi di Taylor.

7. INTEGRALE INDEFINITO.

Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà degli integrali. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte.

8. INTEGRALE DEFINITO.

Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri.

9. SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz.

Testi di riferimento

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill

2. G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri

3. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

4. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

6. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

Programmazione del corso

	Argomenti	Riferimenti testi
1	Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte.	Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4.3-4.4
2	Funzioni trigonometriche	Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4.3-4.4
3	Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.	Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4.3-4.4
4	Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati.	Testo 2: Cap. 2
5	Estremi di un insieme numerico	Testo1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4
6	Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione x^n=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali.	Testo1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4
7	Principio di induzione	Testo1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4
8	Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Teorema di Bolzano. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari.	Testo1: Cap.2; Cap.3 Sez. 3.1
9	Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto.	Testo1: Cap.3 Sez. 3.2-3.6; Cap.4 Sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap.5 Sez. 5.1 - 5.2, 5.5 Testo2: Cap.4 Sez. 4.1-4.6, 4.8-4.10, 4.13, 4.14 Testo3: Cap.3 Sez. 33 Testo4: Cap.4 Sez. 1-2, 3.1-3.3
10	Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Infiniti, infinitesimi e confronti. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone.	Testo1: Cap.3 Sez. 3.2-3.7; Cap.4 Sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap.5 Sez. 5.1 - 5.2, 5.5 Testo2: Cap.4 Sez. 4.1-4.6, 4.8-4.10, 4.13, 4.14 Testo3: Cap.3 Sez. 33 Testo4: Cap.4 Sez. 1-2, 3.1-3.3
11	Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Asintoti al grafico di una funzione.	Testo1: Cap.6 Testo2: Cap.5 Sez. 5.1-5.4 Testo3: Cap.4 Sez. 44-49 Testo4: Cap.5 Sez 1.1-1.3, 3.1-3.6
12	Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Asintoti al grafico di una funzione. Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata delle funzioni composte.	Testo1: Cap.6 Testo2: Cap.5 Sez. 5.1-5.4 Testo3: Cap.4 Sez. 44-49 Testo4: Cap.5 Sez 1.1-1.3, 3.1-3.6 Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6
13	Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital.	Testo1: Cap.7 Testo2: Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6
14	Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà degli integrali Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte.	Testo1: Cap.8 Sez. 8.5, 8.6 Testo2: Cap.8 Sez. 8.8-8.12 Testo3: Cap.9 Sez. 88-92 Testo4: Cap.8 Sez. 1.7-1.9, Compl. 9-16
15	Integrale di Riemann. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Integrali generalizzati e impropri. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione.	Testo1: Cap.8 Sez. 8.1-8.4, 8.7. Testo2: Cap.8 Sez. 8.1-8.3, 8.5-8.7, 8.13-8.1 Testo3: Cap.8 Sez. 79-84 Testo4: Cap.8 Sez. 1.1-1.6 Cap.8 Sez. 3.1-3.2
16	Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.	Testo1: Cap 4 Sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo2: Cap.9 Sez. 9.1-9.5, 9.7 Testo3: Cap.11 Sez.104-110 Testo4: Cap. 8 Sez. 2.1-2.3
17	Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni. Criterio Di Leibniz.	Testo1: Cap 4 Sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo2: Cap.9 Sez. 9.1-9.5, 9.7 Testo3: Cap.11 Sez.104-110 Testo4: Cap. 8 Sez. 2.1-2.3

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame finale consiste in una prova scritta e un colloquio orale. Si accede al colloquio orale se si supera la prova scritta con un voto non inferiore a 12/30. L'esame si intende superato se si sostiene un colloquio orale giudicato almeno sufficiente (18/30).

La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Criteri per l’attribuzione del voto: sia per la prova scritta che per la prova orale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per l'attribuzione del voto si seguiranno di norma i seguenti criteri:

Non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Definizione di funzione continua

Dimostrazione del teorema degli zeri

Definizione geometrica del concetto di integrale

Corso di laurea in

Ingegneria Civile, Ambientale e Gestionale (L-7)