METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II
Anno accademico 2019/2020 - 2° annoCrediti: 6
SSD: MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 90 di studio individuale, 45 di lezione frontale, 15 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di fornire competenze teoriche e tecniche risolutive per lo studio delle serie e successioni di funzioni, nell’ambito del calcolo differenziale, per l’integrazione delle funzioni reali di due o più variabili reali e per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Didattica frontale con esercitazioni in aula.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze teoriche e delle tecniche risolutive riguardanti le successioni numeriche, il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale e le serie numeriche.
Frequenza lezioni
Obbligatoria.
Contenuti del corso
- Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata; esercizi.
- Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie; esercizi.
- Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice; esercizi.
- Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni e^x, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)^r e arcsen(x); esercizi.
- Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza; esercizi.
- Elementi di topologia di R^2: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti.
- Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi.
- Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi.
- Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; massimi e minimi vincolati; teorema dei moltiplicatori di Lagrange; esercizi.
- Equazioni differenziali: generalità; equazioni differenziali del 1° ordine lineari; equazioni differenziali del 2° ordine lineari; equazioni differenziali a coefficienti costanti; esistenza e unicità locale e globale per il problema di Cauchy; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; esercizi.
- Integrali curvilinei e forme differenziali: curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi; esercizi.
- Integrali doppi e tripli: generalità; formule di riduzione; teorema di Guldino; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R^2; esercizi.
- Superfici regolari: definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes; esercizi.
Testi di riferimento
- N. Fusco, P. Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore – Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea
- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica, vol. 2 tomi 1, 2,3, e 4, Liguori Editore.
- S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame è costituito da una prova scritta suddivisa in due parti e da una prova orale facoltativa. Supera la prova scritta chi totalizza un punteggio di almeno 9/15 in ciascuna delle due parti. Per sostenere la prova orale occorre aver superato la prova scritta.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
- Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni assegnata.
- Scrivere lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico di una funzione.
- Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di una funzione f(x,y) assegnata.
- Teorema del Dini per le funzioni implicite.
- Risoluzione di equazioni differenziali lineari ordinarie.
- Calcolo di integrali doppi in domini normali.
- Integrali di forme differenziali lungo una curva.