METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II
Anno accademico 2021/2022 - 2° annoCrediti: 6
SSD: MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 90 di studio individuale, 45 di lezione frontale, 15 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di fornire competenze teoriche e tecniche risolutive nell'ambito dell'analisi matematica in vista delle successive applicazioni nei corsi di ambito fisico-ingegneristico del percorso di studi. In particolare, l'obiettivo del corso sarà quello di far sviluppare abilità riguardanti lo sviluppo in serie di potenze e di Fourier delle funzioni, il calcolo differenziale e integrale delle funzioni di due o più variabili reali, la ricerca delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie e il calcolo integrale su curve o superfici.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Didattica frontale con esercitazioni in aula.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze teoriche e delle tecniche risolutive riguardanti le successioni numeriche, il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale e le serie numeriche.
Frequenza lezioni
La frequenza è obbligatoria. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle ore di ogni singolo insegnamento.
Contenuti del corso
- Successioni e serie di funzioni.
Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata; esercizi.
Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie; esercizi.
Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice; esercizi.
Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni ex, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)r e arcsen(x); esercizi.
Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza; esercizi. - Funzioni di due o più variabili.
Elementi di topologia di R2: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti.
Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi.
Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi. - Funzioni implicite ed estremi vincolati
Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; invertibilità locale e globale; esercizi;
Estremi vincolati: generalità; definizione di massimo e minimo vincolato; teorema dei moltiplicatori di Lagrange; esercizi. - Equazioni differenziali ordinarie: generalità; problema di Caucy; teoremi di esistenza e unicità globale e locale per un problema di Cauchy; equazioni differenziali del 1° ordine lineari; equazioni differenziali del 1° ordine non lineari; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; equazioni differenziali lineari di ordine n; metodo della variazione delle costanti; equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; metodo della somiglianza; esercizi.
- Integrali curvilinei e forme differenziali: curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi; esercizi.
- Integrali doppi e tripli: generalità; formule di riduzione; teorema di Guldino; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R2; esercizi.
- Superfici regolari: definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes; esercizi.
Testi di riferimento
Teoria
[1] N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due – Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, 2001 – ISBN: 9788820731373
[2] M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli, 2009 – ISBN: 9788808122810
Esercizi
[3] P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi matematica Due, Zanichelli, 2017 – Prima parte ISBN: 9788808220707 e Seconda parte ISBN: 9788808191458
[4] S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica, Zanichelli, 2011 – Volume 2 ISBN: 9788808218964
Altri testi
[5] N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020 – ISBN: 9788808520203
Programmazione del corso
Argomenti | Riferimenti testi | |
---|---|---|
1 | Successioni e serie di funzioni | [1], [2] |
2 | Funzioni di due o più variabili | [1] |
3 | Funzioni implicite ed estremi vincolati | [1] |
4 | Equazioni differenziali ordinarie | [1], [3] |
5 | Integrali curvilinei e forme differenziali | [1] |
6 | Integrali doppi e tripli | [1] |
7 | Superfici regolari | [1], [2] |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame è costituito da una prova scritta suddivisa in due parti seguita, facoltativamente, o da una prova scritta teorica oppure da una prova orale. La scelta tra le due opzioni è lasciata allo studente. Supera la prova scritta chi totalizza un punteggio di almeno 9/15 in ciascuna delle due parti. Per il calcolo del voto totale, la sola prova scritta basata su esercizi conferisce un punteggio di al massimo 24/30, la prova scritta teorica o la prova orale un punteggio di al massimo 6/30. Per sostenere la prova teorica (scritta o orale) occorre aver superato la prova scritta.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
- Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni assegnata.
- Scrivere lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico di una funzione.
- Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di una funzione f(x,y) assegnata.
- Teorema del Dini per le funzioni implicite.
- Risoluzione di equazioni differenziali lineari ordinarie.
- Calcolo di integrali doppi in domini normali.
- Integrali di forme differenziali lungo una curva.
- Teorema sulle forme differenziali.
- Determinare le soluzioni di una generica equazione differenziale del primo ordine lineare.