METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

1. Successioni e serie di funzioni.

Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto li segno di integrale e derivata; esercizi. Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice. Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni ex, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)' e arcsen(x). Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza.

2. Funzioni di 2 o più variabili

Elementi di  topologia di  R^2: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti; Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi. Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi.

3. Funzioni implicite ed estremi vincolati.

Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; invertibilità locale e globale; esercizi; Estremi vincolati: generalità; definizione di massimo e minimo vincolato; teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

4. Equazioni differenziali ordinarie: 

generalità; problema di Caucy; teoremi di esistenza e unicità globale e locale per un problema di Cauchy; equazioni differenziali del 1 ordine lineari; equazioni differenziali del 1 ordine non lineari; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; equazioni differenziali lineari di ordine n; metodo della variazione delle costanti; equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; metodo della somiglianza.

5. Integrali curvilinei e forme differenziali: 

curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi.

6. Integrali doppi e tripli: 

generalità; formule di riduzione; teorema di Guldino; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R^2.

7. Superfici regolari: 

definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes.

[2] M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli (2009)

[3] P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli (2017) 

[4] S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica, Zanichelli (2011)

[5] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica due, Zanichelli (2020)