METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

L'insegnamento ha lo scopo di fornire competenze teoriche e tecniche risolutive nell'ambito dell'analisi matematica in vista delle successive applicazioni nei corsi di ambito fisico-ingegneristico del percorso di studi. In particolare, l'obiettivo del corso sarà quello di far sviluppare abilità riguardanti lo sviluppo in serie di potenze e di Fourier delle funzioni, il calcolo differenziale e integrale delle funzioni di due o più variabili reali, la ricerca delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie e il calcolo integrale su curve o superfici.

Didattica frontale con esercitazioni in aula.

Conoscenze teoriche e delle tecniche risolutive riguardanti le successioni numeriche, il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale e le serie numeriche.

La frequenza è obbligatoria. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle ore di ogni singolo insegnamento.

1. Successioni e serie di funzioni.
   Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata; esercizi.
   Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie; esercizi.
   Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice; esercizi.
   Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni e^x, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)^r e arcsen(x); esercizi.
   Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza; esercizi.
2. Funzioni di due o più variabili.
   Elementi di topologia di R²: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti.
   Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi.
   Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi.
3. Funzioni implicite ed estremi vincolati
   Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; invertibilità locale e globale; esercizi;
   Estremi vincolati: generalità; definizione di massimo e minimo vincolato; teorema dei moltiplicatori di Lagrange; esercizi.
4. Equazioni differenziali ordinarie: generalità; problema di Caucy; teoremi di esistenza e unicità globale e locale per un problema di Cauchy; equazioni differenziali del 1° ordine lineari; equazioni differenziali del 1° ordine non lineari; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; equazioni differenziali lineari di ordine n; metodo della variazione delle costanti; equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; metodo della somiglianza; esercizi.
5. Integrali curvilinei e forme differenziali: curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi; esercizi.
6. Integrali doppi e tripli: generalità; formule di riduzione; teorema di Guldino; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R²; esercizi.
7. Superfici regolari: definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes; esercizi.

Teoria
[1] N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due – Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, 2001 – ISBN: 9788820731373
[2] M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli, 2009 – ISBN: 9788808122810

Esercizi
[3] P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi matematica Due, Zanichelli, 2017 – Prima parte ISBN: 9788808220707 e Seconda parte ISBN: 9788808191458
[4] S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica, Zanichelli, 2011 – Volume 2 ISBN: 9788808218964

Altri testi
[5] N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020 – ISBN: 9788808520203

L’esame è costituito da una prova scritta suddivisa in due parti seguita, facoltativamente, o da una prova scritta teorica oppure da una prova orale. La scelta tra le due opzioni è lasciata allo studente. Supera la prova scritta chi totalizza un punteggio di almeno 9/15 in ciascuna delle due parti. Per il calcolo del voto totale, la sola prova scritta basata su esercizi conferisce un punteggio di al massimo 24/30, la prova scritta teorica o la prova orale un punteggio di al massimo 6/30. Per sostenere la prova teorica (scritta o orale) occorre aver superato la prova scritta.

• Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni assegnata.
• Scrivere lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico di una funzione.
• Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di una funzione f(x,y) assegnata.
• Teorema del Dini per le funzioni implicite.
• Risoluzione di equazioni differenziali lineari ordinarie.
• Calcolo di integrali doppi in domini normali.
• Integrali di forme differenziali lungo una curva.
• Teorema sulle forme differenziali.
• Determinare le soluzioni di una generica equazione differenziale del primo ordine lineare.