METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA I

Lo scopo del corso è quello di fornire agli studenti concetti basilari del calcolo differenziale di funzioni a una variabile, di rendere lo studente capace di elaborare gli argomenti fondamentali in maniera critica, di migliorare le capacità di ragionamento.

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Conoscenze di base di insiemistica, aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.

La frequenza è obbligatoria. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle ore previste dall'insegnamento.

Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Elementi di topologia.

Prodotto cartesiano. Definizione di funzione. Funzioni particolari. Successioni. Funzione composta. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Derivato di un insieme. La retta ampliata R^*.

L'operazione di limite

Funzioni reali di variabile reale. Positività e simmetrie. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limite destro e sinistro. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Operazioni con i limiti di funzioni. Forme indeterminate. Limite di funzione composta. Infinitesimi e infiniti. Confronti. Asintoti. Limite di una successione. Confronti. Il numero "e", alcuni limiti notevoli. Criterio di convergenza di Cauchy.

Funzioni continue

Definizione di continuità. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotone. Proprietà fondamentali delle funzioni continue su un intervallo. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Primo e secondo teorema di Weierstrass. Funzioni elementari: funzioni razionali intere e fratte; funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche; funzioni iperboliche e loro inverse; funzioni trigonometriche e loro inverse.

Calcolo differenziale

Definizione di derivata. Derivabilità e continuità. Derivata destra, derivata sinistra. Derivate successive. Operazioni con le derivate. Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa. Differenziale. Estremi locali. Teorema di Fermat.  Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Funzioni crescenti o decrescenti in un punto o in un intervallo. Teoremi di De L'Hôpital e applicazioni. La formula di Taylor. Funzioni concave e convesse. Determinazione della natura dei punti stazionari. Determinazione del grafico di una funzione. 

Integrali di funzioni di una variabile

Definizione di integrale secondo Riemann e significato geometrico. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale: additività; omogeneità; monotonia; teorema della media; additività rispetto all'intervallo di integrazione. Funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Regole di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrali impropri.

Serie numeriche

Definizione di serie numerica e prime proprietà. Criterio di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Criterio di condensazione. Convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Operazioni sulle serie.

1) C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica I - Zanichelli

2) S. Salsa, A. Squellati - Esercizi di Analisi matematica vol. 1- Zanichelli

3)  G. Zwirner, Esercizi di Analisi Matematica I, CEDAM
 

L’esame consiste di una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione, giustificata, di esercizî sulle funzioni, sugli integrali e sulle serie. La prova orale riguarda la teoria nel suo complesso.

Se la prova scritta è superata con un voto non inferiore a 18/30 e avendo riportato per ciascuno dei 3 argomenti un punteggio non inferiore a 5/10, lo studente ha la facoltà di non sostenere la prova orale. Se lo studente decide di non proseguire con la prova orale, il voto finale sarà dato dalla media  (eventualmente arrotondato per eccesso) tra il voto della prova scritta e 18. Il voto massimo raggiungibile sarà quindi 24/30.

Durante la prova scritta è consentito soltanto l’uso di una calcolatrice non programmabile. È vietato l'uso di qualsiasi altro strumento, di libri o di appunti  personali.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

La valutazione dell'esame è basata sui seguenti criteri: livello di conoscenza degli argomenti richiesti; capacità espressiva e proprietà di linguaggio; capacità di applicare le conoscenze a semplici casi di studio; capacità di collegamento dei diversi temi del programma di insegnamento.

Per sostenere la prova scritta lo studente deve prenotarsi entro i termini fissati per ciascun appello sul portale studenti.

Calcolo di limiti. Calcolo di derivate. Calcolo di integrali. Studio di una funzione. Studio del carattere di una serie.