Geometry
Academic Year 2022/2023 - Teacher: ANTONIO CAUSAExpected Learning Outcomes
The aim of the programme is to give some preliminaries and tools for a basic introduction to Linear
Algebra and Analytical Geometry. In this course we look at properties of matrices, systems of linear equations
and vector spaces useful to find real eigenvalues and eigenvectors of applications.
We will learn about classification of plane conics and quadric surfaces, using their invariants and polar coordinates.
We will also solve some problems similar to the ones assigned at the final exam.
Course Structure
Frontal lectures and classroom exercise. The teaching approach is a traditional one. The program offers personal feedback and attention from tutors in order to help students in their studies.
Should teaching be carried out in mixed mode or remotely, it may be necessary to introduce changes with respect to previous statements, in line with the programme planned and outlined in the syllabus.
Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.
Detailed Course Content
Linear Algebra
- Matrices over a field. Matrices addition, scalar multiplication, matrix multiplication (or product). Diagonal, triangular, scalar, symmetric, skew-simmetric matrices and transpose of matrix.
- Vector spaces and their properties over R. Examples: R[x], Rn, Rm,n.. Subspaces. Intersection and sum of vector spaces. Direct sum. Linear combinations. Span, Linear Independence and dependence,Finitely generated vector spaces, Base, Dimension. Steinitz’s Lemma *, Grassmann’s formulas*.
- Determinants and their properties. Theorems of Binet*,Laplace I*, Laplace II*, Adjunct matrix, Inverse, Rank and Reduction of a matrix. Theorem of Kronecker*. Systems of linear equations. Rouchè-Capelli‘s rule, Cramer’s rule. Solving systems of linear equations.
- Linear maps between vector spaces and their properties. Kernel and image of a linear map. Injective, surjective maps and isomorphisms. Study of linear maps. Matrices associated to linear maps. Change of base matrix. Similar matrices.
- Eigenvalues, Eigenvectors and Eigenspaces of a matrix. Characteristic polynomial. Dimension of an eigenspace. Relation between Algebraic multiplicity and geometric multiplicity. Linear Independence of the eigenvectors. Diagonalizable linear maps and diagonalization of a matrix.
Geometry
I) Euclidean (geometric) vectors and their properties. Scalar multiplication, dot (or scalar) product, wedge (or cross) product.
II) Cartesian coordinates. Points, lines , Homogeneous coordinates, Points at infinity (Improper Points), Parallel and orthogonal Lines. Slope of a line. Distances from a point to a line. Pencil of lines. Planes in The space. Coplanar and Skew lines. Pencil of Planes. Angles between lines and planes. Distance from a point to a plane and from a point to a line in the space.
III) Conics and their associated matrices. Orthogonal Invariants. Canonical reduction of a conic*. Irreducible and degenerate conics. Rank of its associated matrix. Discriminant of a conic. Parabolas, Ellipses, Hyperbolas: equations, focus, eccentricity, directrix, semi-maior axis, center. Circumferences, Tangents, and pencils of conics.
IV) Quadrics and its associated matrix. Nondegenerate, degenerate and singular quadric surfaces. Cones and cylinders. Classification.
Textbook Information
1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (Linear Algebra).
2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (Geometry) available at www.giuseppepaxia.com
Course Planning
| Subjects | Text References | |
|---|---|---|
| 1 | Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: R^n, R^m,n, R[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz (no dim.). Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (no dim). Dimensione di una somma diretta. | Testo 1 |
| 2 | 1 Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche. | Testo 1 |
| 3 | Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. | Testo 1 |
| 4 | Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. | Testo 1 |
| 5 | Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici. | Testo 1 |
| 6 | I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti. | Testo 2 |
| 7 | Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze. | Testo 2 |
| 8 | Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Studio delle coniche in forma canonica: Ellissi, Iperboli, Parabole, Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Rette Tangenti ad una conica. | Testo 2 |
| 9 | Le quadriche e matrici ad esse associate. Ellissoidi, Iperboloidi, Paraboloidi. Coni e Cilindri. Vertici. Sfere. | Testo 2 |