ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA M - Z

Il corso introduce allo studio dei sistemi lineari, delle applicazioni lineari, alla ricerca di autovalori di matrici e alla diagonalizzazione di matrici. Si affronta lo studio della geometria lineare, specificatamente rette e piani, delle coniche nel piano e delle quadriche nello spazio.

Equazioni e disequazioni di vario grado e tipo. Nozioni di base di algebra. Nozioni di base di geometria analitica. Trigonometria

Lo studente deve possedere almeno il 70% delle presenze alle lezioni del corso per potere accedere alle due prove in itinere (una di algebra e l'altra di geometria).

Algebra

1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.

2. Generalità sulle matrici. Rango. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Inversa di una matrice quadrata. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei

sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Sistemi omogenei. Teorema di Cramer.

3. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette. Teorema di Kronecker. Dimostrazione del Teorema di Rocuhé- Capelli. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.

4. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.

5. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

2. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.

3. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.

Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere

Bonacini, Cinquegrani, Marino: Algebra Lineare: esercizi svolti Ed. Cavallotto

Bonacini, Cinquegrani, Marino: Geometria: esercizi svolti. Ed. Cavallotto

S. Giuffrida - A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei.

G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri

La prova d'esame è composta da una prova scritta e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.

2. Studio della semplicità di un'endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile una base di autovettori.

3. Calcolo della controiimagine di un vettore, quindi risoluzione di un sistema lineare, al variare del parametro reale, controiimagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.

4. Somma diretta, operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni e d estensioni.

Esercizi di Gemetria

1. esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli

2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato o da determinare. Studio completo di una conica. Conichesottocondizione.

3. Studio di quadriche al variare del paraemtro. Quadriche sotto condizioni.