ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico 2017/2018 - 2° annoCrediti: 9
SSD: MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 138 di studio individuale, 42 di lezione frontale, 45 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
A fine corso lo studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.
Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.
Prerequisiti richiesti
Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.
Frequenza lezioni
Almeno il 50% di presenze per l'accesso all'esame finale.
Contenuti del corso
N. B.: Gli argomenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.
1. Successioni e Serie di Funzioni. *Successioni di funzioni reali di variabile reale. *Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Teoremi della continuita', del passaggio al limite sotto il segno d'integrale e di derivata. *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie. *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze. *Serie di Taylor. *Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.
2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R2 e R3. Insiemi limitati. Aperti connessi. Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwartz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilita'. *Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale (solo enunciato). *Funzioni composte. *Teorema di derivazione delle funzioni composte (solo enunciato). Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo.
3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. *Problema di Cauchy. *Proprieta' generali delle equazioni lineari. *Equazioni differenziali lineari del primo ordine. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. *Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. *Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. *Equazione a variabili separabili, *omogenea, *di Bernoulli.
4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R^2 e R^3. *Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilita'. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. *Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R^2 e di R^3.
5. Cenni sull'integrazione in R2 e R3 secondo Riemann. *Domini normali di R^2. *Integrabilita' su domini normali. *Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli (solo enunciato). *Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. *Formule per il calcolo dell'area. *Cambiamento di variabili negli integrali doppi. *Domini normali rispetto a un piano. *Integrali tripli. *Cambiamento di variabili negli integrali tripli. 6. Superfici e integrali superficiali. Superfici regolari. Area di una superficie regolare. Integrali superficiali.
Testi di riferimento
[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.
[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.
Programmazione del corso
Argomenti | Riferimenti testi | |
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1 | Metodi risolutivi di equazioni differenziali ordinarie | [1], cap. 1, 12 ore |
2 | Calcolo infinitesimale per le curve | [1], cap. 2, 7 ore |
3 | Calcolo differenziale per funzioni reali di piu' variabili reali | [1], cap 3, 12 ore |
4 | Estremi liberi e vincolati di una funzione di piu' variabili | [1], capp. 3- 4, 12 ore |
5 | Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili | [1], cap. 5, 12 ore |
6 | Campi vettoriali e forme differenziali | [1], cap. 6, 12 ore |
7 | Serie di potenze e serie di Fourier | [1], cap. 7, 12 ore |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame sara' solo scritto suddiviso in parte pratica della durata di due ore e in parte teorica della durata di un'ora, seguente la parte pratica. La parte pratica dell'esame consta, di norma, di due esercizi. Le due prove vengono espletate nel medesimo appello di esame. La commissione valuta l'intero elaborato ed esprime un unico voto in trentesimi.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Forme differenziali.
Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili.
Estremi condizionati di una funzione.