ANALISI MATEMATICA I M - Z

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding):

Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie numeriche.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding):

Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'ingegneria.

Autonomia di giudizio (Making judgements):

Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

Abilità comunicative (Communication skills):

La frequenza delle lezioni e lo studio sui libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento (Learning skills):

Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni:

xⁿ, rad[n]{x}, x^b, log_a(x), a^x, sen(x), cos(x), tan(x).

Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.

La frequenza alle lezioni è obbligatoria.

Lo/a studente/essa,  per acquisire la frequenza, è tenuto/a a frequentare almeno il 70% delle ore di lezione . Nel caso contrario lo studente non potrà sostenere l'esame.

1.  Nozioni preliminari. Definizione estensiva ed intensiva di un insieme; Sottoinsieme; Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza e differenza simmetrica; Proprietà distributive di operazioni tra insiemi; Complementare di un insieme; Leggi di De Morgan; Insiemi numerici: numeri naturali, interi relativi, razionali relativi, reali; Proprietà dei numeri razionali; Proprietà di densità dei razionali e degli irrazionali nell’insieme dei numeri reali; Proprietà di densità dei reali nell’insieme dei numeri razionali; Principio di induzione. Potenza con esponente naturale e intero; Potenza con esponente razionale e reale; Logaritmi; Valore assoluto; I numeri complessi: proprietà elementari, forma algebrica e forma trigonometrica; Esponenziale complesso e logaritmo di un numero complesso; Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici; Binomio di Newton.

2. Insiemi numerici. Topologia di R: intorni di un punto, punti interni, punti esterni, punti di frontiera, punti di accumulazione e loro caratterizzazione, punti isolati, intervalli; Insieme limitato inferiormente e superiormente; Minoranti, maggioranti, estremo inferiore e superiore, massimo e minimo di un insieme numerico; Insiemi separati ed insiemi contigui; Completezza dell’insieme R secondo Dedekind

3.  Successioni numeriche. Definizione di successione numerica; Successioni monotone; Limite di una successione: successione convergente, divergente positivamente, divergente negativamente; Successioni irregolari o oscillanti; Caratterizzazione sequenziale dei punti di accumulazione; Successioni infinitesime; Successioni infinitamente grandi; Successioni estratte; Teoremi sui limiti di successioni: limitatezza delle successioni convergenti e controesempio, algebra dei limiti, teoremi della permanenza del segno e di confronto, teoremi sulle successioni estratte.

4.  Funzioni reali di una variabile reale. Definizione di funzione e di grafico di una funzione; Funzioni iniettive, suriettive, biiettive; Funzioni pari, dispari, periodiche; Funzioni monotone; Funzioni limitate; Punti di minimo e di massimo assoluto; Punti di minimo e di massimo relativo; Funzioni composte; Esempi di funzioni: funzioni lineari, funzione identità, funzioni quadratiche, funzione modulo o valore assoluto, funzione segno, funzione parte intera, funzione parte frazionaria, funzione di Heaviside, funzione di Dirichlet, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche; Funzioni inverse; Operazioni tra funzioni.

5.   Funzioni continue. Varie definizioni di limite di funzione; Caratterizzazione sequenziale del limite di una funzione e sue applicazioni alla non esistenza di limiti; Teoremi vari sui limiti di funzioni; Continuità di una funzione in un punto; Continuità di una funzione in un insieme; Continuità delle funzioni composte; Operazioni tra funzioni continue; Funzioni uniformemente continue; Teorema di Heine-Cantor e suoi corollari; Teorema di Weierstrass; Teorema dei valori intermedi; Teorema di esistenza degli zeri; Punti di discontinuità; Infinitesimi e infiniti.

6.   Calcolo differenziale. Definizione di derivata prima di una funzione in un punto e relativa interpretazione geometrica; Relazione tra continuità e derivabilità e relativi controesempi; Punti angolosi, di cuspide e di flesso a tangente verticale; Derivate delle funzioni elementari; Regole di derivazione; Teorema di derivazione delle funzioni composte; Teorema di derivazione delle funzioni inverse; Differenziale di una funzione; Teoremi del calcolo differenziale: teorema di Fermat e relativo controesempio, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, teorema di Cauchy. Corollari del teorema di Lagrange; Teorema di De L’Hôpital e relativi esempi e controesempi.; Asintoti per il grafico di una funzione: orizzontali, verticali e obliqui; Funzioni crescenti e decrescenti: condizioni necessarie, condizioni sufficienti e condizioni necessarie e sufficienti; Derivate di ordine superiore; Concavità, convessità e flessi.; Formula di Taylor; Condizioni sufficienti per gli estremi relativi; Studio di funzione.

7.  Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale. Integrale indefinito e sue proprietà; Integrali indefiniti immediati; Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione; Definizione di integrale secondo Riemann e sue proprietà; Alcune classi di funzioni integrabili; Integrali definiti; Teoria della misura di Peano-Jordan; Significato geometrico dell’integrale di Riemann; Teorema fondamentale del calcolo integrale; Integrali generalizzati e criteri di integrabilità.

8.  Serie numeriche. Definizione di serie numerica; Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica e relativo controesempio; Serie geometrica; Condizione necessaria e sufficiente di Cauchy per la convergenza di una serie numerica.; Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, criterio della radice; Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto, criterio di Raabe, criterio del confronto asintotico; Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz; Convergenza assoluta di una serie numerica e sua relazione con la convergenza semplice: definizioni, teoremi, esempi e controesempi.

1. G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

2. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

3. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

4. F.G. Alessio, P. Montecchiari, Analisi Matematica I - Teoria con esercizi svolti, Esculapio

5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

6. G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

Lo studente è comunque libero di scegliere qualunque altro testo al livello universitario.