METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

1. Successioni e serie di funzioni.

Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto li segno di integrale e derivata; esercizi. Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice. Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni ex, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)' e arcsen(x). Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza.

2. Funzioni di 2 o più variabili

Elementi di  topologia di  R^2: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti; Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi. Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi.

3. Funzioni implicite ed estremi vincolati.

Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; invertibilità locale e globale; esercizi; Estremi vincolati: generalità; definizione di massimo e minimo vincolato; teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

4. Equazioni differenziali ordinarie: 

generalità; problema di Caucy; teoremi di esistenza e unicità globale e locale per un problema di Cauchy; equazioni differenziali del 1 ordine lineari; equazioni differenziali del 1 ordine non lineari; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; equazioni differenziali lineari di ordine n; metodo della variazione delle costanti; equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; metodo della somiglianza.

5. Integrali curvilinei e forme differenziali: 

curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi.

6. Integrali doppi e tripli: 

generalità; formule di riduzione; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R^2.

7. Superfici regolari: 

definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes.

[2] M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli (2009

[3] P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli (2017)

 [4] S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica, Zanichelli (2011)[5] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica due, Zanichelli (2020)

[5] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica due, Zanichelli (2020)

Tra i files della classe Teams si troveranno molti testi di compiti scritti passati. L'orale verterà su domande prese dalla seguente lista:

1. Successioni di funzioni, convergenza puntuale, convergenza assoluta, convergenza uniforme, relazioni tra questi tipi di convergenza.

2. Teoremi di continuit`a e di integrabilit`a della funzione limite di una successione di funzioni.

3. Serie di funzioni: convergenza, convergenza assoluta, convergenza uniforme, convergenza totale. Relazione

tra questi tipi di convergenza.

4. Serie di potenze e loro convergenza. Serie di Taylor come serie di potenze.

5. Il limite per funzioni di due variabili: definizione, teorema ponte, qualche esempio di funzioni che ammet-

tono limite e di funzioni che non ammettono limite.

6. Differenziabilit`a di funzioni di due variabili.

7. Derivate direzionali, definizione e loro relazione con il differenziale.

8. Gradiente ed Hessiana di una funzione. Loro relazione con il grafico della funzione.

9. Teorema di Ulisse Dini sulle funzioni implicite.

10. Teorema di Fubini e Tonelli e loro uso nel calcolo degli integrali doppi.

11. Il cambio di variabile negli integrali doppi ed il caso particolare delle coordinate polari.

12. Equazioni differenziali a variabili separabili, definizione e tecnica risolutiva.

13. Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine, definizione e tecniche risolutive.

14. Equazioni differenziali di Bernoulli, definizione e tecnica risolutiva. Altre famiglie di equazioni differenziali

riconducibili a quelle a variabili separabili.

15. Forme differenziali, forme differenziali chiuse, forme differenziali esatte.

16. Teorema di Stokes, sua applicazione al caso 2-dimensionale e 3-dimensionale.

17. Il calcolo di baricentri, di lunghezze di curve, di aree delimitate da curve