METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA I

Lo scopo del corso è quello di fornire agli studenti i concetti basilari del calcolo differenziale di funzioni a una variabile, di sviluppare la capacità di elaborare criticamente gli argomenti fondamentali e di potenziare le abilità di ragionamento. Tali risultati di apprendimento sono in linea con gli Obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile, in particolare con l’Obiettivo 4 (Istruzione di qualità), in quanto contribuiscono al rafforzamento delle competenze matematiche essenziali per la formazione universitaria, la ricerca e la crescita professionale. Inoltre, sono coerenti con l’Obiettivo 9 (Imprese, innovazione e infrastrutture), poiché favoriscono lo sviluppo di basi scientifiche utili all’innovazione tecnologica, e con l’Obiettivo 11 (Città e comunità sostenibili), in quanto forniscono strumenti formativi necessari a una partecipazione consapevole e responsabile ai processi di sviluppo sostenibile delle comunità.

Lezioni ed esercitazioni in aula. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenze di base di insiemistica, aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.

La frequenza è obbligatoria. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle ore previste dall'insegnamento. Eventuali riduzioni o esoneri della frequenza sono possibili secondo il regolamento didattico.

Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Elementi di topologia.

Prodotto cartesiano. Definizione di funzione. Funzioni particolari. Successioni. Funzione composta. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Derivato di un insieme. La retta ampliata R^*.

L'operazione di limite

Funzioni reali di variabile reale. Positività e simmetrie. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limite destro e sinistro. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Operazioni con i limiti di funzioni. Forme indeterminate. Limite di funzione composta. Infinitesimi e infiniti. Confronti. Asintoti. Limite di una successione. Confronti. Il numero "e", alcuni limiti notevoli. Criterio di convergenza di Cauchy.

Funzioni continue

Definizione di continuità. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotone. Proprietà fondamentali delle funzioni continue su un intervallo. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Primo e secondo teorema di Weierstrass. Funzioni elementari: funzioni razionali intere e fratte; funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche; funzioni iperboliche e loro inverse; funzioni trigonometriche e loro inverse.

Calcolo differenziale

Definizione di derivata. Derivabilità e continuità. Derivata destra, derivata sinistra. Derivate successive. Operazioni con le derivate. Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa. Differenziale. Estremi locali. Teorema di Fermat.  Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Funzioni crescenti o decrescenti in un punto o in un intervallo. Teoremi di De L'Hôpital e applicazioni. La formula di Taylor. Funzioni concave e convesse. Determinazione della natura dei punti stazionari. Determinazione del grafico di una funzione. 

Integrali di funzioni di una variabile

Definizione di integrale secondo Riemann e significato geometrico. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale: additività; omogeneità; monotonia; teorema della media; additività rispetto all'intervallo di integrazione. Funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Regole di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrali impropri.

Serie numeriche

Definizione di serie numerica e prime proprietà. Criterio di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Criterio di condensazione. Convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Operazioni sulle serie.

1) C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica I - Zanichelli

2) S. Salsa, A. Squellati - Esercizi di Analisi matematica vol. 1- Zanichelli

3)  G. Zwirner, Esercizi di Analisi Matematica I, CEDAM
 

L’esame consiste di una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione, giustificata, di esercizî articolati in tre sezioni (funzioni, integrali, serie). La prova orale riguarda la teoria nel suo complesso.

Per sostenere la prova scritta lo studente deve necessariamente prenotarsi entro i termini fissati per ciascun appello esclusivamente via internet , attraverso il portale studenti. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria Didattica.

Durante la prova scritta è consentito soltanto l’uso di una calcolatrice non programmabile. È vietato l'uso di qualsiasi altro strumento, di libri o di appunti  personali.

Per accedere alla prova orale, è necessario conseguire almeno 5/10 in ciascuna sezione (anche in appelli diversi).
Se il punteggio complessivo è ≥18/30 e con almeno 5/10 in ciascuna sezione (anche in appelli diversi), lo studente può scegliere di non sostenere la prova orale. In tal caso il voto finale è la media tra il voto dello scritto e 18 (arrotondata per eccesso), con un massimo di 24/30.

Se lo studente sostiene anche la prova orale, il voto finale è determinato da una valutazione complessiva delle due prove, senza applicare medie aritmetiche ma considerando conoscenza, applicazione, collegamenti e chiarezza espositiva.

Una prova orale brillante può condurre a un voto finale elevato anche in presenza di uno scritto non eccellente, a condizione che all’orale lo studente dimostri chiaramente una preparazione solida e completa, tale da far ritenere lo scritto un episodio occasionale e non rappresentativo. L’attribuzione del voto finale terrà conto dei seguenti parametri:

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA:

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti e le studentesse interessate possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento.

Calcolo di limiti. Calcolo di derivate. Calcolo di integrali. Studio di una funzione. Studio del carattere di una serie.