METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA I

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti i concetti basilari del calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una variabile reale e lo studio delle serie numeriche, sviluppando la capacità di elaborare criticamente gli argomenti fondamentali e potenziando le abilità di ragionamento formale.

In linea con i Descrittori di Dublino specificati nella Matrice di Tuning del Corso di Studi, gli studenti svilupperanno:

·       Conoscenza e capacità di comprensione (A): Conoscenza e comprensione dei concetti e dei teoremi fondamentali dell'analisi matematica e della geometria analitica per le funzioni di una variabile (elementi di topologia, limiti, continuità, derivabilità, interpretazione geometrica delle proprietà delle funzioni, integrazione e serie numeriche).

·       Capacità di applicare conoscenza e comprensione (B): Saper applicare operativamente i concetti dell'analisi matematica e della geometria analitica per la risoluzione di problemi quantitativi (calcolo di limiti, studio del grafico di una funzione nel piano cartesiano, calcolo differenziale e significato geometrico dell'integrale e della derivata, analisi del carattere delle serie numeriche).

·       Autonomia di giudizio (C): Capacità di operare scelte metodologiche motivate, analizzando criticamente i passaggi logico-deduttivi, la validità delle dimostrazioni e la correttezza dei risultati numerici e analitici ottenuti.

·       Abilità comunicative (D): Saper comunicare in modo chiaro e rigoroso i procedimenti analitici, le rappresentazioni geometriche e le dimostrazioni teoriche, utilizzando correttamente il linguaggio formale, simbolico e rigoroso della matematica.

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·       Capacità di apprendimento (E): Acquisizione del metodo di deduzione logica e degli strumenti cognitivi fondamentali necessari per l'apprendimento autonomo e l'aggiornamento continuo sui modelli matematici e sulle tecniche quantitative dei corsi successivi.

Lezioni ed esercitazioni in aula. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenze di base di insiemistica, aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.

La frequenza è obbligatoria. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle ore previste dall'insegnamento. Eventuali riduzioni o esoneri della frequenza sono possibili secondo il regolamento didattico.

I contenuti dell'insegnamento contribuiscono al raggiungimento degli Obiettivi dell'Agenda 2030 (4, 9 e 11), come di seguito declinato per i singoli moduli:

Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Elementi di topologia. 

Prodotto cartesiano. Definizione di funzione. Funzioni particolari. Successioni. Funzione composta. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Derivato di un insieme. La retta ampliata R^*. (Agenda 2030 - Obiettivo 4: Istruzione di qualità, ponendo le basi del linguaggio formale e del rigore logico-matematico).

L'operazione di limite e funzioni continue

Funzioni reali di variabile reale. Positività e simmetrie. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limite destro e sinistro. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Operazioni con i limiti di funzioni. Forme indeterminate. Limite di funzione composta. Infinitesimi e infiniti. Confronti. Asintoti. Limite di una successione. Confronti. Il numero "e", alcuni limiti notevoli. Criterio di convergenza di Cauchy. Definizione di continuità. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotone. Proprietà fondamentali delle funzioni continue su un intervallo. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Primo e secondo teorema di Weierstrass. Funzioni elementari: funzioni razionali intere e fratte; funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche; funzioni iperboliche e loro inverse; funzioni trigonometriche e loro inverse. (Agenda 2030 - Obiettivo 4: Istruzione di qualità, sviluppando il pensiero critico e la modellazione quantitativa).

Calcolo differenziale

Definizione di derivata. Derivabilità e continuità. Derivata destra, derivata sinistra. Derivate successive. Operazioni con le derivate. Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa. Differenziale. Estremi locali. Teorema di Fermat.  Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Funzioni crescenti o decrescenti in un punto o in un intervallo. Teoremi di De L'Hôpital e applicazioni. La formula di Taylor. Funzioni concave e convesse. Determinazione della natura dei punti stazionari. Determinazione del grafico di una funzione. (Agenda 2030 - Obiettivo 9: Imprese, innovazione e infrastrutture, fornendo gli strumenti di ottimizzazione e analisi locale indispensabili per l'innovazione tecnologica e ingegneristica).

Integrali di funzioni di una variabile

Definizione di integrale secondo Riemann e significato geometrico. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale: additività; omogeneità; monotonia; teorema della media; additività rispetto all'intervallo di integrazione. Funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Regole di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrali impropri. (Agenda 2030 - Obiettivo 11: Città e comunità sostenibili, fornendo gli strumenti di calcolo cumulativo essenziali per la modellazione fisica e ambientale).

Serie numeriche

Definizione di serie numerica e prime proprietà. Criterio di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Criterio di condensazione. Convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Operazioni sulle serie.

1) C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica I - Zanichelli

2) S. Salsa, A. Squellati - Esercizi di Analisi matematica vol. 1- Zanichelli

3)  G. Zwirner, Esercizi di Analisi Matematica I, CEDAM
 

L’esame consiste di una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione, giustificata, di esercizî articolati in tre sezioni (funzioni, integrali, serie). La prova orale riguarda la teoria nel suo complesso.

Per sostenere la prova scritta lo studente deve necessariamente prenotarsi entro i termini fissati per ciascun appello esclusivamente via internet , attraverso il portale studenti. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria Didattica.

Durante la prova scritta è consentito soltanto l’uso di una calcolatrice non programmabile. È vietato l'uso di qualsiasi altro strumento, di libri o di appunti  personali.

Per accedere alla prova orale, è necessario conseguire almeno 5/10 in ciascuna sezione (anche in appelli diversi).
Se il punteggio complessivo è ≥18/30 e con almeno 5/10 in ciascuna sezione (anche in appelli diversi), lo studente può scegliere di non sostenere la prova orale. In tal caso il voto finale è la media tra il voto dello scritto e 18 (arrotondata per eccesso), con un massimo di 24/30.

Se lo studente sostiene anche la prova orale, il voto finale è determinato da una valutazione complessiva delle due prove, senza applicare medie aritmetiche ma considerando conoscenza, applicazione, collegamenti e chiarezza espositiva.

Una prova orale brillante può condurre a un voto finale elevato anche in presenza di uno scritto non eccellente, a condizione che all’orale lo studente dimostri chiaramente una preparazione solida e completa, tale da far ritenere lo scritto un episodio occasionale e non rappresentativo. L’attribuzione del voto finale terrà conto dei seguenti parametri:

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA:

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti e le studentesse interessate possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento.

Calcolo di limiti. Calcolo di derivate. Calcolo di integrali. Studio di una funzione. Studio del carattere di una serie.