MECCANICA RAZIONALE

Conoscenza e comprensione

Al termine del corso lo studente conosce i fondamenti del calcolo vettoriale e tensoriale, la cinematica del punto e dei sistemi rigidi, la composizione dei moti relativi, i principi della dinamica classica del punto e dei sistemi di punti materiali, gli elementi di geometria delle masse (baricentri, momenti e tensore d'inerzia) e i principi variazionali della meccanica, con particolare riferimento al principio dei lavori virtuali e alle equazioni di Lagrange per i sistemi olonomi di corpi rigidi vincolati.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Al termine del corso lo studente è in grado di: eseguire operazioni di calcolo vettoriale e tensoriale nello spazio fisico; studiare il moto di un punto e di un sistema rigido, anche in presenza di moti relativi tra osservatori diversi; impostare e risolvere le equazioni cardinali della dinamica per sistemi di punti materiali; calcolare baricentri, momenti di inerzia e tensori di inerzia di sistemi materiali; determinare il lavoro, la potenza e l'energia cinetica di un sistema meccanico; applicare il principio dei lavori virtuali e le equazioni di Lagrange per determinare le condizioni di equilibrio e le equazioni del moto di sistemi olonomi di corpi rigidi vincolati, e discuterne la stabilità.

Il corso si articola in lezioni frontali, durante le quali vengono presentati e discussi in modo rigoroso i contenuti teorici del programma, ed esercitazioni, dedicate allo svolgimento guidato di esercizi applicativi e alla risoluzione di problemi rappresentativi delle tipologie che saranno oggetto della prova d'esame.

La Didattica Erogativa (DE) comprende la presentazione dei contenuti teorici e degli esempi applicativi; la Didattica Interattiva (DI) comprende le esercitazioni in aula, con il coinvolgimento attivo degli studenti nella risoluzione di esercizi e nella discussione di quesiti proposti dal docente, anche a scopo di autovalutazione in itinere.

Le attività didattiche sono organizzate in modo da assicurare la coerenza tra gli obiettivi formativi e i metodi adottati: alla presentazione frontale dei contenuti teorico-analitici si affiancano costantemente esercitazioni applicative, funzionali allo sviluppo delle capacità di modellazione e di problem solving richieste dai risultati di apprendimento attesi.

Per poter seguire proficuamente il corso è indispensabile che lo studente possieda una solida conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali e degli elementi di base della geometria e dell'algebra lineare (vettori, spazi vettoriali euclidei, matrici, autovalori e autovettori), normalmente impartiti negli insegnamenti di Analisi Matematica e di Geometria del primo anno.

Frequenza obbligatoria secondo le norme del regolamento didattico del CdS.

1.    Richiami sugli spazi vettoriali. 

Proprietà elementari degli spazi vettoriali; dimensione e basi di uno spazio vettoriale; sottospazi vettoriali; spazi vettoriali euclidei; basi ortonormali; ortogonalizzazione; spazi puntuali affini; coordinate rettilinee di uno spazio puntuale affine.

2.    Vettori e punti variabili. 

Funzioni vettoriali di una variabile reale; limiti; derivata, differenziale e formula di Taylor di una funzione vettoriale di una variabile.

3.    Cenni di algebra tensoriale. 

Tensori; prodotto tensoriale; tensori affini e legge di trasformazione delle loro componenti; operazioni algebriche sui tensori affini; criteri di tensorialità; tensori simmetrici e antisimmetrici; tensori euclidei; autovettori e autovalori di un tensore simmetrico.

4.    Calcolo vettoriale nello spazio fisico. 

Assioma dello spazio fisico di un osservatore; versori e proiezione ortogonale di un vettore; scomposizione di un vettore; prodotto scalare, vettoriale, misto e doppio prodotto vettoriale; momento polare di un sistema di vettori; legge di variazione del momento al variare del polo; campo momento; momento di una coppia; momento assiale; condizioni di equivalenza e operazioni invariantive elementari; equivalenza di un sistema di vettori a un vettore applicato più una coppia; sistemi equivalenti a zero; centro di un sistema di vettori applicati paralleli e sue proprietà.

5.    Proprietà differenziali delle curve. 

Ascissa curvilinea e versore tangente; piano osculatore; curvatura e raggio di curvatura; prima formula di Frenet e triedro principale.

6.    Gradiente, divergenza e rotore, campi conservativi. 

Gradiente di una funzione scalare; circolazione di un campo vettoriale; divergenza e flusso di un campo vettoriale; lemma di Gauss e teorema della divergenza; teorema di Stokes; campi conservativi.

7.    Cinematica del punto. 

Assiomi della cinematica classica; equazioni finite del moto; legge oraria e diagramma orario; moti composti; velocità e accelerazione scalare e vettoriale; moto uniforme e uniformemente vario; accelerazione tangenziale e normale; moti piani (moto circolare, moto armonico ed equazione differenziale dei moti armonici).

8.    Cinematica dei sistemi rigidi. 

Punti di vista lagrangiano ed euleriano; spostamenti e moti rigidi; grado di libertà di un corpo rigido; condizione cinematica di rigidità; velocità angolare; formule di Poisson; moti rigidi elementari (traslatorio, rotatorio, elicoidale); atto di moto, moti tangenti, atto di moto elicoidale; teorema di Mozzi; moti rigidi sferici e piani; spostamento rigido infinitesimo.

9.    Moti relativi. 

Principio dei moti relativi; teorema di Coriolis; moto di trascinamento traslatorio e rotatorio; relazione tra le derivate temporali di un vettore in due spazi mobili; composizione di moti rigidi; angoli di Eulero.

10. Dinamica classica del punto. 

Principio d'inerzia; spazi-tempo inerziali; postulati di Kirchhoff e Mach; massa inerziale e forza; principio di azione e reazione; equazione fondamentale della meccanica del punto libero; integrali primi; statica del punto in spazi inerziali e non inerziali; principio di relatività galileana; moto e statica in spazi rotatori; moto nello spazio terrestre, forze apparenti, peso, massa inerziale e gravitazionale.

11. Fondamenti della dinamica classica dei sistemi. 

Equazioni cardinali della meccanica per i sistemi di punti materiali; equazioni cardinali della statica; quantità di moto e baricentro di un sistema di punti materiali.

12. Geometria delle masse. 

Coordinate e proprietà del baricentro; momento e raggio di inerzia; tensore d'inerzia, autovalori e autodirezioni; ellissoide d'inerzia; assi e piani principali; tensore centrale d'inerzia; momento della quantità di moto nel moto intorno al baricentro e di un sistema rigido.

13. Lavoro, potenza, energia. 

Lavoro di un sistema di forze, anche per spostamenti rigidi infinitesimi; lavoro virtuale e componenti lagrangiane; sollecitazioni conservative; energia cinetica e teorema di König; energia cinetica di sistemi rigidi e olonomi; teorema dell'energia cinetica; integrale dell'energia e principio di conservazione dell'energia meccanica.

14. Dinamica dei sistemi olonomi di corpi rigidi. 

Reazioni vincolari; problema fondamentale della dinamica dei sistemi olonomi; sistemi a vincoli privi di attrito; equazioni di D'Alembert e di Lagrange; relazione simbolica della dinamica; teorema integrale dell'energia cinetica; condizioni lagrangiane di equilibrio; principio dei lavori virtuali; principio di Torricelli; determinazione delle reazioni vincolari esplicabili da vincoli comuni; cenni sulla stabilità delle configurazioni di equilibrio.

•      Salvatore Rionero, “Lezioni di Meccanica Razionale”, ARACNE edizioni.

•      Mauro Fabrizio, “Elementi di Meccanica Classica”, Zanichelli.

•      L. Barletti, G. Frosali, F. Ricci, “Esercizi di Meccanica Razionale per Ingegneria”, Società Editrice Esculapio.

Eventuali dispense e materiale didattico integrativo predisposto dal docente saranno resi disponibili nel corso dello svolgimento delle lezioni.

L’esame si svolgerà tramite:

• Prova scritta – propedeutica alla prova orale

• Prova orale

Prova scritta

La prova scritta è suddivisa in due parti:

1. Prima parte: calcolo di baricentri, momenti d’inerzia, assi centrali e assi principali d’inerzia.

2. Seconda parte: determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema e calcolo delle reazioni vincolari.

Prova orale

La prova orale verificherà la conoscenza teorica degli argomenti trattati durante il corso.

Criteri di attribuzione del voto finale

Voto 29–30 e lode

• Conoscenza approfondita della materia

• Capacità di integrare e analizzare criticamente le situazioni presentate

• Risoluzione autonoma di problemi complessi

• Ottime capacità comunicative e proprietà di linguaggio

Voto 26–28

• Buona conoscenza della materia

• Capacità di analisi critica e lineare delle situazioni

• Risoluzione abbastanza autonoma di problemi complessi

• Esposizione chiara e linguaggio appropriato

Voto 22–25

• Conoscenza discreta, limitata ai principali argomenti

• Analisi critica non sempre lineare

• Esposizione abbastanza chiara con discreta proprietà di linguaggio

Voto 18–21

• Conoscenza minima della materia

• Capacità modesta di integrare e analizzare criticamente le situazioni

• Esposizione sufficientemente chiara, proprietà di linguaggio poco sviluppata

Esame non superato

• Conoscenza minima dei contenuti principali assente

• Capacità di utilizzo del linguaggio specifico molto limitata o nulla

• Incapacità di applicare autonomamente le conoscenze acquisite

Misure compensative e dispensative

Per garantire pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti:

• Gli studenti interessati possono richiedere un colloquio personale per programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici e alle specifiche esigenze.

• È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata – Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento.

•      Determinare l'atto di moto di un sistema rigido assegnato e individuarne l'asse di Mozzi.

•      Comporre il moto di un punto rispetto a due osservatori in moto relativo, applicando il teorema di Coriolis.

•      Calcolare il baricentro e il tensore d'inerzia di un sistema rigido omogeneo assegnato.

•      Scrivere le equazioni cardinali della dinamica per un sistema di punti materiali e discuterne gli integrali primi.

•      Determinare le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive per un sistema olonomo assegnato.

•      Impostare le equazioni di Lagrange per un sistema olonomo di corpi rigidi vincolati e determinarne le configurazioni di equilibrio.

•      Applicare il principio dei lavori virtuali per determinare le condizioni di equilibrio di un sistema vincolato.

•      Calcolare il lavoro, la potenza e l'energia cinetica di un sistema rigido in moto assegnato.

•      Enunciare e dimostrare uno dei teoremi fondamentali del corso (ad es. teorema di Mozzi, teorema di König, teorema dell'energia cinetica).

•      Discutere la stabilità di una configurazione di equilibrio di un sistema olonomo conservativo.