METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

Conoscenza e comprensione

Al termine del corso lo studente conosce i concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali, gli strumenti di base dell'analisi delle successioni e delle serie di funzioni, la geometria differenziale di curve e superfici, il calcolo con le forme differenziali lineari e i teoremi di Gauss-Green e di Stokes, nonché le tecniche fondamentali per lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. Lo studente acquisisce inoltre familiarità con il linguaggio rigoroso dell'analisi matematica e con le principali tecniche dimostrative utilizzate nella disciplina.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Al termine del corso lo studente è in grado di: calcolare derivate parziali e studiare la differenziabilità di funzioni di più variabili; determinare massimi e minimi liberi e vincolati; calcolare integrali multipli, anche mediante cambiamento di variabili; studiare la convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni; parametrizzare curve e superfici e calcolarne lunghezza e area; verificare l'esattezza di una forma differenziale e calcolarne un potenziale; applicare le formule di Gauss-Green e di Stokes al calcolo di integrali curvilinei e di superficie; impostare e risolvere problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie, in particolare lineari a coefficienti costanti. Tali capacità sono propedeutiche alla modellazione e alla risoluzione di problemi tipici dell'ambito dell'ingegneria edile e dell'architettura.

Il corso si articola in lezioni frontali, durante le quali vengono presentati e discussi in modo rigoroso i contenuti teorici del programma, ed esercitazioni, dedicate allo svolgimento guidato di esercizi applicativi e alla risoluzione di problemi rappresentativi delle tipologie che saranno oggetto della prova d'esame.

La Didattica Erogativa (DE) comprende la presentazione dei contenuti teorici e degli esempi applicativi; la Didattica Interattiva (DI) comprende le esercitazioni in aula, con il coinvolgimento attivo degli studenti nella risoluzione di esercizi e nella discussione di quesiti proposti dal docente, anche a scopo di autovalutazione in itinere.

Le attività didattiche sono organizzate in modo da assicurare la coerenza tra gli obiettivi formativi e i metodi adottati: alla presentazione frontale dei contenuti teorici si affiancano costantemente esercitazioni applicative, funzionali allo sviluppo delle capacità di calcolo e di problem solving richieste dai risultati di apprendimento attesi.

Per poter seguire proficuamente il corso è indispensabile che lo studente possieda una solida conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale (limiti, continuità, derivazione, studio di funzione, integrazione secondo Riemann, serie numeriche) e degli elementi di base della geometria e dell'algebra lineare (vettori, matrici, sistemi lineari, geometria analitica del piano e dello spazio).

È inoltre importante possedere una buona padronanza del calcolo algebrico e trigonometrico e dei concetti fondamentali della topologia della retta reale. Tali conoscenze sono normalmente impartite negli insegnamenti di base di Analisi Matematica I e di Geometria previsti nel primo anno dei corsi di studio in ingegneria.

1.    Calcolo differenziale in più variabili. 

Derivate parziali; funzioni differenziabili; derivate successive; funzioni composte; massimi e minimi relativi.

2.    Calcolo integrale in più variabili. 

L'integrazione; la misura degli insiemi; integrabilità delle funzioni continue; calcolo degli integrali doppi; il volume dei solidi; cambiamento di variabili; le coordinate polari; integrali impropri.

3.    Successioni e serie di funzioni. 

Successioni di funzioni; la convergenza uniforme; serie di funzioni; le serie di potenze.

4.    Curve e superfici. 

Curve in Rⁿ; lunghezza di una curva; superfici; area di una superficie; il teorema delle funzioni implicite; massimi e minimi vincolati.

5.    Forme differenziali. 

Forme differenziali; forme esatte; la formula di Gauss-Green; applicazioni della formula di Gauss-Green; la formula di Stokes.

6.    Equazioni differenziali. 

Il problema di Cauchy; prolungamento delle soluzioni; equazioni lineari; equazioni lineari a coefficienti costanti.

•      Enrico Giusti, “Analisi Matematica II”, Bollati Boringhieri.

•      P. Marcellini, C. Sbordone, “Esercizi di Analisi Matematica 2”, Zanichelli.

•      S. Salsa, A. Squellati, “Esercizi di Analisi Matematica”, Zanichelli.

Eventuali dispense e materiale didattico integrativo predisposto dal docente saranno resi disponibili nel corso dello svolgimento delle lezioni.

L’esame si svolgerà tramite:

• Prova scritta – propedeutica alla prova orale

• Prova orale

Criteri di attribuzione del voto finale

Voto 29–30 e lode

• Conoscenza approfondita della materia

• Capacità di integrare e analizzare criticamente le situazioni presentate

• Risoluzione autonoma di problemi complessi

• Ottime capacità comunicative e proprietà di linguaggio

Voto 26–28

• Buona conoscenza della materia

• Capacità di analisi critica e lineare delle situazioni

• Risoluzione abbastanza autonoma di problemi complessi

• Esposizione chiara e linguaggio appropriato

Voto 22–25

• Conoscenza discreta, limitata ai principali argomenti

• Analisi critica non sempre lineare

• Esposizione abbastanza chiara con discreta proprietà di linguaggio

Voto 18–21

• Conoscenza minima della materia

• Capacità modesta di integrare e analizzare criticamente le situazioni

• Esposizione sufficientemente chiara, proprietà di linguaggio poco sviluppata

Esame non superato

• Conoscenza minima dei contenuti principali assente

• Capacità di utilizzo del linguaggio specifico molto limitata o nulla

• Incapacità di applicare autonomamente le conoscenze acquisite

Misure compensative e dispensative

Per garantire pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti:

• Gli studenti interessati possono richiedere un colloquio personale per programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici e alle specifiche esigenze.

• È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata – Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento.

•      Determinare gli estremi liberi della funzione f(x, y) e classificarli mediante lo studio della matrice hessiana.

•      Determinare gli estremi vincolati di una funzione su un insieme definito da un'equazione, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

•      Calcolare un integrale doppio su un dominio assegnato, eventualmente mediante cambiamento di variabili (coordinate polari).

•      Studiare la convergenza puntuale e uniforme di una successione o di una serie di funzioni assegnata.

•      Determinare il raggio e l'insieme di convergenza di una serie di potenze.

•      Verificare se una forma differenziale lineare è esatta e, in caso affermativo, calcolarne un potenziale.

•      Calcolare la lunghezza di una curva o l'area di una superficie assegnata mediante parametrizzazione.

•      Applicare la formula di Gauss-Green al calcolo di un integrale curvilineo o di un'area piana.

•      Risolvere un problema di Cauchy per un'equazione differenziale lineare, anche a coefficienti costanti.

•      Enunciare e dimostrare uno dei teoremi fondamentali del corso (ad es. teorema delle funzioni implicite, formula di Stokes, teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy).