GEOMETRIA

Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

1. Comprendere e utilizzare il linguaggio formale dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica, riconoscendo strutture fondamentali quali spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici e trasformazioni geometriche.

2. Risolvere problemi di natura algebrica e geometrica, inclusi sistemi lineari, cambi di base, diagonalizzazione di matrici e studio di trasformazioni lineari e affini.

3. Calcolare e interpretare invarianti algebrici e geometrici, quali rango, determinante, autovalori, autovettori, area e volume.

4. Analizzare rette, piani, coniche e quadriche, determinandone equazioni, posizioni relative e classificazione mediante metodi algebrici e matriciali.

5. Studiare isometrie e trasformazioni ortogonali, descrivendone la natura geometrica e rappresentandole tramite matrici.

6. Applicare procedimenti algoritmici fondamentali, quali il metodo di Gauss e il processo di Gram–Schmidt, con rigore e autonomia.

7. Collegare la rappresentazione analitica con l’interpretazione geometrica, sviluppando capacità di visualizzazione e modellizzazione.

La verifica dell’apprendimento avviene mediante un esame finale, articolato in una prova scritta e in una prova orale.

La prova scritta è finalizzata a valutare la capacità dello studente di applicare in modo corretto e autonomo gli strumenti dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica nella risoluzione di esercizi e problemi. Essa può includere quesiti di calcolo, esercizi applicativi e richieste di giustificazione dei procedimenti adottati.

La prova orale è volta ad accertare la comprensione teorica degli argomenti trattati nel corso, la padronanza del linguaggio matematico e la capacità di collegare i diversi concetti affrontati. Durante il colloquio potranno essere richieste dimostrazioni, commenti teorici e interpretazioni geometriche.

Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per l’accesso alla prova orale. La valutazione finale tiene conto dell’esito complessivo delle due prove.

La frequenza al corso è fortemente consigliata, in quanto le lezioni includono spiegazioni teoriche, esempi svolti e attività di esercitazione che supportano in modo significativo l’apprendimento degli argomenti trattati.

Le lezioni si svolgono in modalità frontale, con il supporto di esercizi guidati e discussioni in aula. Durante il corso potranno essere forniti materiali didattici aggiuntivi, esercizi e approfondimenti, resi disponibili attraverso la piattaforma di e-learning dell’università.

Gli studenti non frequentanti sono comunque tenuti a conoscere l’intero programma del corso e possono prepararsi utilizzando i testi di riferimento e il materiale messo a disposizione online.

Italiano

Il corso è articolato in 30 sessioni da 2 ore ed è suddiviso in due parti principali: Algebra Lineare e Geometria Analitica.

Parte I – Algebra Lineare

• Spazi vettoriali

  • Campi e spazi vettoriali

  • Esempi fondamentali

  • Sottospazi, somma e somma diretta

• Combinazioni lineari, basi e dimensione

  • Dipendenza e indipendenza lineare

  • Basi e coordinate

  • Lemma di Steinitz e formula di Grassmann

• Applicazioni lineari

  • Nucleo e immagine

  • Teorema del nucleo e dell’immagine

  • Matrice associata a un’applicazione lineare

  • Cambi di base

• Matrici e sistemi lineari

  • Operazioni tra matrici

  • Metodo di Gauss

  • Rango e compatibilità dei sistemi lineari

• Determinanti

  • Definizione e proprietà

  • Sviluppo di Laplace

  • Teorema di Binet

  • Matrici invertibili e teorema di Cramer

  • Interpretazione geometrica del determinante

• Autovalori e diagonalizzazione

  • Autovalori e autovettori

  • Polinomio caratteristico

  • Criteri di diagonalizzabilità

• Prodotto scalare e ortogonalità

  • Basi ortogonali e ortonormali

  • Processo di Gram–Schmidt

  • Matrici ortogonali e isometrie

Parte II – Geometria Analitica

• Geometria affine e vettoriale

  • Spazi affini

  • Rette e piani

  • Equazioni cartesiane, parametriche e vettoriali

  • Distanze e angoli

• Isometrie

  • Isometrie del piano e dello spazio

  • Rotazioni, riflessioni e traslazioni

  • Interpretazione matriciale

• Coniche

  • Definizione e rappresentazione matriciale

  • Classificazione delle coniche

  • Studio geometrico: tangenti, fuochi, direttrici, eccentricità

  • Fasci di rette e di coniche

• Quadriche

  • Equazioni e classificazione

  • Ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi

  • Coni e cilindri

• S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare.
• G. Paxia, Lezioni di Geometria.
• S. Greco, P. Valabrega. Lezioni di Geometria, Volume I: Algebra Lineare.
• Grossman, Stanley, Elementary linear algebra

L’esame finale consiste in una prova scritta e in una prova orale, che si svolgono al termine del corso secondo il calendario degli esami.

La prova scritta è fissata secondo il calendario ufficiale. La prova orale si svolgerà nei giorni successivi alla prova scritta, secondo disponibilità.