GEOMETRIA

Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

1. Comprendere e utilizzare il linguaggio formale dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica, riconoscendo strutture fondamentali quali spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici e trasformazioni geometriche.

2. Risolvere problemi di natura algebrica e geometrica, inclusi sistemi lineari, cambi di base, diagonalizzazione di matrici e studio di trasformazioni lineari e affini.

3. Calcolare e interpretare invarianti algebrici e geometrici, quali rango, determinante, autovalori, autovettori, area e volume.

4. Analizzare rette, piani, coniche e quadriche, determinandone equazioni, posizioni relative e classificazione mediante metodi algebrici e matriciali.

5. Studiare isometrie e trasformazioni ortogonali, descrivendone la natura geometrica e rappresentandole tramite matrici.

6. Applicare procedimenti algoritmici fondamentali, quali il metodo di Gauss e il processo di Gram–Schmidt, con rigore e autonomia.

7. Collegare la rappresentazione analitica con l’interpretazione geometrica, sviluppando capacità di visualizzazione e modellizzazione.

La verifica dell’apprendimento avviene mediante un esame finale, articolato in una prova scritta e in una prova orale.

La prova scritta è finalizzata a valutare la capacità dello studente di applicare in modo corretto e autonomo gli strumenti dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica nella risoluzione di esercizi e problemi. Essa può includere quesiti di calcolo, esercizi applicativi e richieste di giustificazione dei procedimenti adottati.

La prova orale è volta ad accertare la comprensione teorica degli argomenti trattati nel corso, la padronanza del linguaggio matematico e la capacità di collegare i diversi concetti affrontati. Durante il colloquio potranno essere richieste dimostrazioni, commenti teorici e interpretazioni geometriche.

Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per l’accesso alla prova orale. La valutazione finale tiene conto dell’esito complessivo delle due prove.

La frequenza al corso è fortemente consigliata, in quanto le lezioni includono spiegazioni teoriche, esempi svolti e attività di esercitazione che supportano in modo significativo l’apprendimento degli argomenti trattati.

Le lezioni si svolgono in modalità frontale, con il supporto di esercizi guidati e discussioni in aula. Durante il corso potranno essere forniti materiali didattici aggiuntivi, esercizi e approfondimenti, resi disponibili attraverso la piattaforma di e-learning dell’università.

Gli studenti non frequentanti sono comunque tenuti a conoscere l’intero programma del corso e possono prepararsi utilizzando i testi di riferimento e il materiale messo a disposizione online.

Il corso è articolato in 30 sessioni da 2 ore ed è suddiviso in due parti principali: Algebra Lineare e Geometria Analitica.

Parte I – Algebra Lineare

• Spazi vettoriali

  • Campi e spazi vettoriali

  • Esempi fondamentali

  • Sottospazi, somma e somma diretta

• Combinazioni lineari, basi e dimensione

  • Dipendenza e indipendenza lineare

  • Basi e coordinate

  • Lemma di Steinitz e formula di Grassmann

• Applicazioni lineari

  • Nucleo e immagine

  • Teorema del nucleo e dell’immagine

  • Matrice associata a un’applicazione lineare

  • Cambi di base

• Matrici e sistemi lineari

  • Operazioni tra matrici

  • Metodo di Gauss

  • Rango e compatibilità dei sistemi lineari

• Determinanti

  • Definizione e proprietà

  • Sviluppo di Laplace

  • Teorema di Binet

  • Matrici invertibili e teorema di Cramer

  • Interpretazione geometrica del determinante

• Autovalori e diagonalizzazione

  • Autovalori e autovettori

  • Polinomio caratteristico

  • Criteri di diagonalizzabilità

• Prodotto scalare e ortogonalità

  • Basi ortogonali e ortonormali

  • Processo di Gram–Schmidt

  • Matrici ortogonali e isometrie

Parte II – Geometria Analitica

• Geometria affine e vettoriale

  • Spazi affini

  • Rette e piani

  • Equazioni cartesiane, parametriche e vettoriali

  • Distanze e angoli

• Isometrie

  • Isometrie del piano e dello spazio

  • Rotazioni, riflessioni e traslazioni

  • Interpretazione matriciale

• Coniche

  • Definizione e rappresentazione matriciale

  • Classificazione delle coniche

  • Studio geometrico: tangenti, fuochi, direttrici, eccentricità

  • Fasci di rette e di coniche

• Quadriche

  • Equazioni e classificazione

  • Ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi

  • Coni e cilindri

• M. Abate, Ch. de Fabritiis, Geometria Analitica con elementi di algebra lineare, III edizione, McGraw Hill.
• S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare.
• G. Paxia, Lezioni di Geometria.
• S. Greco, P. Valabrega. Lezioni di Geometria, Volume I: Algebra Lineare.
• Grossman, Stanley, Elementary linear algebra.
• Raccolte di esercizi sul sito del docente https://santispadaro.weebly.com/alg.html

L’esame finale consiste in una prova scritta e in una prova orale, che si svolgono al termine del corso secondo il calendario degli esami. L’esame verte sull’intero contenuto del corso.

La prova scritta avrà una durata di due ore e sarà divisa in due parti che dovranno essere consegnate separatamente. Consisterà principalmente di esercizi.

La prova orale potrà iniziare con una discussione della prova scritta, e proseguirà con domande di teoria che sonderanno la padronanza complessiva del corso da parte degli studenti: essi dovranno dimostrare di comprendere le definizioni del corso, eventualmente costruendo esempi e controesempi, chiarire enunciati di teoremi svolti durante il corso, essere in grado di dimostrarli in maniera rigorosa, e mostrare di potere affrontare autonomamente esercizi aggiuntivi. Le capacità di esposizione degli studenti e la loro abilità nel collegare argomenti diversi del corso incideranno nell'attribuzione del voto finale.

La prova scritta è fissata secondo il calendario ufficiale. La prova orale si svolgerà nei giorni successivi alla prova scritta, secondo disponibilità.

Gli studenti dovranno sostenere la prova orale nella stessa sessione in cui hanno superato la prova scritta.

Per l'attribuzione del voto si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.