ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Il corso di Algebra Lineare e Geometria è finalizzato all’acquisizione, da parte di studentesse e studenti, delle conoscenze fondamentali di algebra lineare e di geometria analitica, indispensabili per affrontare lo studio della matematica applicata all’ingegneria. In particolare, il corso intende fornire gli strumenti teorici e pratici per la comprensione e l’uso di concetti quali spazi vettoriali, matrici, trasformazioni lineari e rappresentazioni geometriche nello spazio.

Nello specifico, gli obiettivi di apprendimento attesi sono:

DD1 Conoscenza del linguaggio matematico e del metodo deduttivo, delle strutture algebriche di base (corpi, spazi vettoriali, basi, dimensione) e degli strumenti della geometria analitica, al fine di comprendere e descrivere problemi matematici e applicativi. Capacità di interpretare relazioni geometriche e algebriche tramite rappresentazioni in coordinate e matrici.

DD2 Capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi concreti, come il calcolo di autovalori e autovettori, la risoluzione di sistemi lineari, lo studio di rette, piani e coniche nello spazio. Capacità di interpretare dati e risultati derivanti da esercitazioni, simulazioni o applicazioni informatiche di algebra lineare e geometria.

DD3 Capacità di valutare criticamente soluzioni e metodi, scegliendo l’approccio più adatto a seconda del problema, e di affrontare situazioni complesse che richiedono l’uso combinato di tecniche algebriche e geometriche.

DD4 Capacità di comunicare efficacemente le proprie conoscenze, sia in forma scritta che orale, utilizzando un linguaggio matematico rigoroso. Capacità di presentare i risultati di una esercitazione in modo chiaro e sintetico, attraverso calcoli, formule, rappresentazioni grafiche e diagrammi. Capacità di lavorare in gruppo, confrontandosi e collaborando per la risoluzione di problemi.

DD5 Capacità di autovalutare il proprio percorso di apprendimento, individuando punti di forza e di debolezza, orientata al raggiungimento di una solida formazione di base in algebra lineare e geometria.

Le conoscenze acquisite saranno spendibili in diversi ambiti applicativi, in particolare nell’informatica e nell’ingegneria, e contribuiranno al raggiungimento degli obiettivi dell’Agenda 2030 relativi all’innovazione, all’istruzione di qualità e allo sviluppo sostenibile.

Lezioni frontali. Esercitazioni di gruppo. Verifiche in aule.

Prove in itinere

Sono previste due prove in itinere (durata 2 ore la prima e 2 ore la seconda) durante il corso.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.

La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche riguardanti l’Algebra Lineare. Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 6).

La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche riguardanti Geometria, della durata di 2 ore.

La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 6).

Equazioni e disequazioni di vario grado e tipo. Nozioni di base di algebra. Nozioni di base di geometria analitica. Trigonometria

Lo studente deve possedere almeno il 70% delle presenze alle lezioni del corso per potere accedere alle due prove in itinere (una di algebra e l'altra di geometria).

Algebra

1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.

2. Numeri Complessi. Operazioni. La rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Gauss. Inverso di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Rappresentazione mediante i vettori. Elevazione a potenza (formula di De Moivre).

2. Generalità sulle matrici. Rango. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Inversa di una matrice quadrata. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Sistemi omogenei. Teorema di Cramer.

3. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette. Teorema di Kronecker. Dimostrazione del Teorema di Rocuhé-Capelli. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.

4. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.

5. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

2. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.

3. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.

Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere

La valutazione consiste nel superamento di una prova scritta e di una prova orale, descritte di seguito. Entrambe le prove sono obbligatorie.

Durante il periodo didattico, esclusivamente per gli studenti frequentanti il corso, saranno svolte delle prove in itinere con finalità di autovalutazione (DD5) e di valutazione. Gli studenti che otterranno una valutazione media positiva potranno essere esonerati dal sostenere l’esame scritto.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo richiedessero.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto della normativa vigente, gli studenti interessati possono richiedere un colloquio personale con il docente per programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici e alle esigenze specifiche.

È inoltre possibile rivolgersi al docente referente CInAP (Centro per l’Integrazione Attiva e Partecipata – Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento.

Prenotazione

La prenotazione per ogni appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet dal portale studenti di Ateneo. Gli esami sono pubblicati sul portale di Ateneo e sulla pagina del CdS

e sulla home page http://www.dmi.unict.it/lmarino/

Gli argomenti della prima settimana del corso di Algebra Lineare e Geometria riguarderanno i “Preliminari”.

Durante il corso sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di due ore.

Il Test sui Preliminari è rivolto a tutti gli studenti (I, II e III anno, ripetenti e FC). Lo studente che supera il test  riceverà un bonus di 3 punti.

Validità del bonus:

• I 3 punti sono validi per tutte le prove scritte del calendario d’esami dell’anno accademico in corso.

• Lo studente che possiede il bonus non dovrà svolgere il “quesito preliminari” presente in ogni prova scritta.

Gli studenti iscritti al I, II o III anno, così come i ripetenti o FC, che non possiedono il bonus, avranno l’obbligo di risolvere il “quesito preliminari” per poter superare la prova scritta di Algebra Lineare e Geometria.

La prima prova in itinere riguarderà la parte di Algebra.

(Superamento con voto pari a 6 e un voto massimo pari a 15).

La seconda prova in itinere che riguarderà la parte di Geometria si terrà a fine corso.

(Superamento con voto pari a 6 e un voto massimo pari a 15).

La partecipazione alla seconda prova in itinere è indipendente dalla partecipazione alla prima o dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta.

Il superamento di entrambe le prove farà sì che l’esame finale sia costituito solo dalla prova orale da sostenere entro il I semestre (Marzo dello stesso anno).

La prova orale riguarderà solo gli argomenti affrontati durante il corso.

Lo studente che abbia superato una sola delle due prove in itinere può sostenere la prova non superata entro Marzo dello stesso anno.

Lo studente che non abbia superato nessuna delle due prove in itinere o che non si fosse mai presentato deve necessariamente sostenere sia una prova scritta che una prova orale. La prova scritta, propedeutica a quella orale, della durata di tre ore riguarderà il programma di Algebra e Geometria (superamento della prova scritta con voto pari a 12 e un voto massimo pari a 30).

La valutazione dell’esame è basata sui seguenti criteri: livello di conoscenza degli argomenti richiesti, capacità espressiva e proprietà di linguaggio matematico, capacità di applicare le conoscenze a semplici casi studio, capacità di collegamento dei diversi temi del programma di insegnamento.

Criteri di assegnazione del voto: 

 NON SUPERATO: lo studente dimostra una conoscenza scarsa e frammentaria della materia, manifesta gravi errori di comprensione e non è in grado di esporre in maniera accettabile i contenuti della materia 

 18-21: lo studente dimostra una limitata conoscenza e una basilare comprensione della materia, espone in modo poco chiaro e con poca precisione 

 22-24: lo studente dimostra un'accettabile conoscenza e un'essenziale comprensione della materia, espone in maniera corretta, ma non totalmente strutturata 

 25-27: lo studente dimostra un'ampia conoscenza e una comprensione adeguata della materia, espone in maniera corretta, ma non completa 

 28-29: lo studente dimostra una conoscenza approfondita e una solida comprensione della materia, espone in maniera chiara e strutturata 

 30-30 e lode: lo studente dimostra una conoscenza completa e dettagliata e una comprensione eccellente della materia, espone in maniera chiara e strutturata.

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.

2. Studio della semplicità di un'endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile una base di autovettori.

3. Calcolo della controiimagine di un vettore, quindi risoluzione di un sistema lineare, al variare del parametro reale, controiimagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.

4. Somma diretta, operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni e d estensioni.

Esercizi di Geometria

1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli

2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato o da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizioni.

3. Studio di quadriche al variare del paramtero. Quadriche sotto condizioni.